Теорема Абеля — Таубера - теорема, обратная теореме Абеля о степенных рядах. Первая теорема типа тауберовых теорем. Была доказана A. Таубером в 1897 г. (теорема Таубера)^[1] Формулировку и доказательство при более общих условиях затем дал Дж. Литтльвуд в 1910 г.^[2] Затем была доказана Р. Шмидтом^[3], Н. Винером^[4]. Наиболее простое доказательство дал Дж. Карамата^[5]. Формулировку и доказательство при более слабом условии ${\displaystyle n|a_{n}|>-K}$ дал Э. Ландау^[6].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ сходится к ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle |x|<1}$. Пусть ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow {1-0}}f(x)=s}$, когда ${\displaystyle x}$ стремится слева к ${\displaystyle 1}$. Пусть ${\displaystyle n|a_{n}|<K<\infty }$. Тогда ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{n}=s}$.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

• Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — М. : Физматлит, 1963. — С. 255.